Андрій Цуріков народився 5 жовтня 1992 року у Запоріжжі і є вихованцем місцевої школи «Металург». Саме у складі «Металурга» він і починав свою професійну кар’єру.
В період з 2009 по 2013 роки він провів: в УПЛ — 28 матчів, 2 голи, у Першій лізі – 24 матчі, 2 голи, у Кубку України – 5 матчів, 1 гол, у Другій лізі за «Металург-2» — 6 матчів, 1 гол, і у першості U-21 – 33 матчі, 3 голи. Далі він перейшов до київського «Динамо», за яке виступав протягом двох років: 6 матчів в УПЛ, 2 матчі у Кубку України та 30 матчів, 11 голів в першості U-21.
У 2015 році Цуріков по півроку провів на орендних умовах в УПЛ за запорізький «Металург» (7 матчів, 1 гол) і ужгородську «Говерлу» (12 матчів, 1 гол), а завершив сезон 2015/16 у грецький вищій лізі у складі «Левадіакосу» (9 матчів у чемпіонаті і 1 матч у Кубку Греції).
З 2016 по 2019 роки Цуріков виступав за «Олександрію»: в УПЛ – 70 матчів, 4 голи, у Кубку України – 2 матчі, у Лізі Європи – 5 матчів і 2 гри у першості U-21.
Минулого літа Андрій Цуріков уклав контракт з чеським клубом «Яблонець», але через травму так і не провів жодного офіційного матчу. Загалом, на рівні УПЛ він зіграв 126 матчів і забив 8 м’ячів.
В складі юнацьких і молодіжної збірної України провів 32 матчі і забив 2 м’ячі.