Євген Паст народився 16 березня 1988 року в Одесі. Є вихованцем «Чорноморця», за який дебютував на початку 2010 року.
За «Чорноморець» голкіпер виступав до 2016 року. За цей час в складі одеситів він провів: В УПЛ – 28 матчів (пропустив 41 гол), у 1 лізі – 29 (-24), у Кубку України – 5 (-8), у єврокубках – 2 (-1).
Далі він три сезони захищав кольори «Зірки» з Кропивницького: в УПЛ – 61 (-78), 1 ліга – 19 (-11), Кубок України -2 (-3).
Останні три сезони воротар був гравцем чернігівської «Десни»: УПЛ – 72 (-78) , Кубок України – 2 (-2), єврокубки -1 (-2).