Оборонець народився в Одесі та розпочав футбольний шлях у ДЮСШ-11 «Чорноморець». Невдовзі був запрошений до академії київського «Динамо», після закінчення якої був внесений до заявки «Динамо» на сезон 2018/19. У 16-річному віці вже почав працювати з динамівськими колективами U19 та U21, в якості гравця обох команд завоював чемпіонство України. У складі команди U19 успішно виступав у Юнацькій лізі УЄФА.
Із початку 2020 року поступово залучався до обойми першої команди «Динамо» і брав участь у контрольних матчах. Уперше до заявки основного складу киян Вівчаренко був включений на матч за Суперкубок України-2020, в якому динамівці здолали «Шахтар» (3:1). А дебютним у складі першої команди «Динамо» для захисника став екстратайм переможного матчу кваліфікації Ліги чемпіонів 2022/23 проти «Фенербахче» у Стамбулі (2:1).
Свій дебют Костянтин відзначив гольовим асистом, який посприяв виходу киян до наступного раунду кваліфікації Ліги чемпіонів. Невдовзі оборонець відзначився прем’єрним голом – у ворота австрійського «Штурма» (2:1) у матчі-відповіді 3-го раунду кваліфікації Ліги чемпіонів. Далі слідував дебют Вівчаренка в УПЛ – у вересневому поєдинку 4-го туру сезону 2022/23 проти ФК «Львів» (1:0).
Загалом протягом поточного сезону Костя провів 12 матчів у складі першої команди «Динамо» в УПЛ та 10 – в рамках єврокубків (1 гол). Гравець молодіжної збірної України, у складі якої пробився на чемпіонат Європи-2023 (11 матчів, 2 голи).
«Чорноморець» розірвав контракт із нападником і підписав чотирьох новачків