Він увійшов в історію футболу як автор вирішального голу збірної Уругваю у фінальному матчі ЧС-1950 з бразильцями. Грав за дві збірні: з 1950 року по 1952 - за збірну Уругваю, з 1957 по 1959 - за збірну Італії.
30 червня 2012 року Гіджа потрапив в автомобільну аварію, в результаті чого декілька днів провів у комі.
16 червня 2015 року Альсідес помер від серцевого нападу через декілька годин після госпіталізації. До своєї смерті форвард залишався єдиним живим переможцем Чемпіонату Світу-1950. А помер він у 65-у річницю вирішального матчу, в якому свого часу забив переможний гол.